9 клас алгебра 29 квітня-6 травня

Тема: Основні правила комбінаторики

https://youtu.be/89hUMPho62c

Комбінаторика – розділ математики, присвячений розв’язуванню задач вибору та розташування елементів деякої скінченної множини відповідно до заданих правил.
Розглянемо два основних правила, за допомогою яких розв’язується багато задач із комбінаторики.Приклад 1. У місті N є два університети – політехнічний і економічний. Абітурієнту подобаються три факультети в політехнічному університеті і два – в економічному. Скільки можливостей має абітурієнт для вступу в університет?
Розв’язання. Позначимо буквою А множину факультетів, які обрав абітурієнт в політехнічному університеті, а буквою В – в економічному. Тоді А = {т, n, k}, В = {p, s}. Оскільки ці множини не мають спільних елементів, то загалом абітурієнт має 3 + 2 = 5 можливостей вступати до університету.
Описану ситуацію можна узагальнити у вигляді твердження, яке називається правилом суми.
Якщо елемент деякої множини А можна вибрати m способами, а елемент множини В – n способами, то елемент із множини А або ж із множини В можна вибрати m + n способами.Правило суми поширюється і на більшу кількість множин.

Приклад 2. Від пункту А до пункту В ведуть три стежки, а від В до С – дві. Скількома маршрутами можна пройти від пункту А до пункту С?Розв’язання. Щоб пройти від пункту А до пункту В, треба вибра­ти одну з трьох стежок: 1, 2 або 3. Після того слід вибрати одну з двох інших стежок: 4 чи 5.Усього від пункту А до пункту С ведуть 6 маршрутів, бо 3 ∙ 2 = 6.Усі ці маршрути можна позначи­ти за допомогою пар: (1; 4), (1; 5), (2; 4),      (2; 5), (3; 4), (3; 5).
Узагальнимо описану ситуацію.Якщо перший компонент пари можна вибрати т способами, а дру­гий – п способами, то таку пару можна вибрати тп способами.Це – правило добутку, його часто називають основним правилом комбінаторики. Зверніть увагу: ідеться про впорядковані пари, складені з різних компонентів.Приклад 3. Скільки різних по­їздів можна скласти з 6 вагонів, якщо кожний з вагонів можна по­ставити на будь-якому місці?Розв’язання. Першим можна поставити будь-який із 6 вагонів. Маємо 6 виборів. Другий вагон можна вибрати з решти 5 вагонів. Тому за правилом множення два перших вагони можна вибрати 6 · 5 способами. Третій вагон можна вибрати з 4 вагонів, що залишились. Тому три перших вагони можна вибрати 6 · 5 · 4 способами. Продовжуючи подібні міркування, приходимо до відповіді: усього можна скласти 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720 різних поїздів.
Добуток усіх натуральних чисел від 1 до n називають n-факторіалом і позначають п!Домовились вважати, що 1! = 1 і 0! = 1. ІV. Формування вміньВиконання усних вправ1.    Є дві цифри: 1 і 9. Скількома способами з цих цифр можна скласти:
а)    одноцифрове число;
б)    двоцифрове число, щоб цифри у числі не повторювались;
в)    двоцифрове число, якщо цифри у числі можуть повторюватися?
2.    У класі 11 хлопців і 10 дівчат. Скількома способами можна делегувати одного учня в шкільний комітет самоврядування?
3.    У класі 11 хлопців і 10 дівчат. Скількома способами можна делегувати двох учнів у шкільний комітет самоврядування?
4.    У класі 11 хлопців і 10 дівчат. Скількома способами можна делегувати одну дівчину і одного хлопця в шкільний комітет самоврядування?
Виконання письмових вправ1.    У магазині є три види печива і десять видів цукерок. Сергій хоче купити сестрі печиво чи цукерки. Скількома способами він може це зробити?
2.    Скількома способами можна посадити чотирьох дітей на лавці?
3.    На вершину гори ведуть 4 стежки. Скількома маршрутами турист може піднятись на гору і спуститися з неї, обираючи для спуску і підйому різні стежки?
4.    Їдальня приготувала на сніданок 3 другі страви (А, В, С) і два напої (М, K). Скільки різних наборів із таких страв і напоїв можна вибрати на сніданок? Складіть відповідну діаграму-дерево.
5.    Скількома способами 5 осіб можуть утворити чергу до каси?
6.    Скільки різних «кортежів» може створити хлопчик з чотирьох іграшкових автомобілів: білого, жовтого, синього і червоного? Скла­діть відповідну діаграму-дерево.
7.    На пошті є три види конвертів, два види марок до них і чотири види поздоровних листівок, що вкладаються в ці конверти. Скільки існує різних способів оформлення одного привітання?

8.    У вівторок за розкладом в 11-Б класі є 7 різних уроків, серед яких – фізика і астрономія. Скількома способами можна скласти розклад так, щоб:а)    фізика і астрономія стояли поруч;б)    фізика і астрономія не стояли поруч?

9.    Скільки:
а)    парних чотирицифрових чисел можна скласти з цифр 0, 1, 2, З, 4, 5, якщо цифри не можуть повторюватися.б)    непарних чотирицифрових чисел можна скласти з цифр 0, 1, 2, З, 4, 5, якщо цифри не можуть повторюватися?10.                       Обчисліть:
а) 10! : 5!; б) 13! : 10!; в) 20! : 25!; г) 100! : 97!.
11.                       Спростіть вираз:
а) n! : (n – 1); б) (n – 1)! : n!; в) (n + 1)! : (n – 1)!.

Прочитати п. 21, вправи №21.1-21-20 виконати в зошиті до 6 травня

1. Завдання відправляти на адресу  mikula2103@ukr.net