10 клас алгебра 27 квітня-7 травня

Тема: Похідна функції, її геометричний та фізичний зміст

Ви вмієте працювати з багатьма математичними моделями – рівняннями, нерівностями, системами рівнянь, системами нерівностей і т.ін. Сьогодні йтиметься про принципово нову  для вас математичну модель. Отже, розгляньмо дві різні задачі : фізичного і геометричного змісту, в процесі розв`язування яких саме і виникає нова математична модель.

Нехай деяке тіло (матеріальна точка) рухається  по прямій, на якій задані початок відліку, одиниця виміру(метр) і напрям.

Закон руху задано формулою S=s(t), де t – час (у секундах), s(t) – положення тіла на прямій (координата даної матеріальної точки, що рухається у момент часу  t по відношенню до початку відліку (у метрах).

Знайти швидкість руху тіла в момент часу t.

Розв`язання

Нехай тіло в момент часу t було в точці А і пройшло шлях ОА= s(t).

                      

Надамо аргументу t  приріст Δt і  розглянемо ситуацію   в момент часу t+Δt. Координата матеріальної точки змінилась, бо тіло пройшовши шлях від початку руху ОВ= s(t+Δt), перебуватиме в точці В.

Отже, до Δt секунд тіло перемістилося з точки А в точку В, тобто пройшло шлях АВ.

АВ=ОВ-ОА= s(t+Δt)-s(t).

Візьмемо відрізок АВ= ΔS (м)

Шлях ΔS(м) тіло пройшло за Δt секунд.

Нескладно знайти середню швидкість руху Vс за проміжок часу [t; t+ Δt]; Vс=

Що означає V(t) в момент часу t (інколи її називають миттєвою швидкістю)?

Можна сказати так :

Це середня швидкість руху за проміжок часу [t; t+Δt] за умовами, що Δt витрачається все менше і менше;

інакше за умови, що Δt    О.

це означає, що V(t)=

ΔS називається приростом шляху.

Приклад

Точка рухається прямолінійно за законом s(t)=4t²- t-2

S – шлях у метрах, t – час у секундах.

Знайдіть швидкість точки :

а) у довільний момент часу t₀;

б) у момент часу t=3 с.

Розв`язання

а)  нехай зафіксовано момент часу t₀, який дістав приріст Δt, тоді t₁= t₀+Δt

Знайдемо відповідний приріст шляху :

ΔS=S(t₀+Δt)–S(t₀) =4(t₀+Δt)² -(t₀+Δt) -2-(4t₀²- t₀-2)=4(t₀²+2 t₀Δt+()²-t₀-Δt-2-4t²+t+2=4t₀²+8t₀Δt+4(Δt)²-t₀-Δt-2-4t₀²+ +t₀+2=8t₀ Δt +4(Δt)²- Δt = Δt ∙(8t₀+4 Δt-1).

Значить, V_м= 8t₀-1() у довільний момент часу С. Отже, при заданому русі S(t) миттєва швидкість V(t) у довільний момент часу t обчислюється за формулою

V(t)= 8t-1.

б) якщо t=3 с, то маємо V(3)=8∙3-1=23()

Відповідь: а) 8t₀-1;   б) 23 ()

Терміном дотична ми вже користувалися (на інтуїтивному рівні) в курсі алгебри 8 класу, коли говорили, що парабола у=х² дотикається до осі ОХ у точці х=0 або що одне й те саме, вісь ОХ є дотичною до параболи в точці х=0

Справа не в тому, що вісь ОХ і парабола мають тільки одну спільну точку. Адже вісь Оу теж має з параболою у=х²  тільки одну спільну точку, але не є дотичною до параболи.

Зазвичай дотичну визначають таким чином :

На даній кривій L вибираємо точку К, а потім ще одну – точку М. Проведемо січну МК – пряму m. Далі будуємо наближену точку М по кривій до точки К, а потім ще одну точку М. проведемо січну МК – пряму m. Далі будемо  наближати точку М по кривій до точки К.

Січна МК буде змінювати своє положення:

Пряма m (її нове положення є m₁, m₂, m₃, m₄…) ніби обертається навколо точки К.

Часто буває так, що в цьому процесі можна виявити пряму, яка являє собою деяке граничне положення січної, цю пряму називають дотичною до кривої α у точці К.

Прочитати п. 18-19, вправи №18.1-18.3, 19.1-19.7 виконати в зошиті до 7 травня 2020 р.

1. Завдання відправляти на адресу  mikula2103@ukr.net